unitn. n°71 conferenze Perché Beckham gioca col numero 23? Quei numeri primi così sospetti 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… di Marcus du Sautoy I numeri primi sono gli atomi dell'aritmetica. A scuola ci viene insegnato che sono divisibili solo per se stessi e per il numero uno. Quello che in genere non ci viene detto è che i numeri primi rappresentano uno degli enigmi più tormentosi nella storia della ricerca della conoscenza. Se conosciamo tutti i primi fino a un certo numero, come facciamo a prevedere quale sarà il prossimo? C'è una formula capace di generare i numeri primi? Queste domande apparentemente semplici hanno suscitato la perplessità dei matematici sin dal tempo dell'antica Grecia. I numeri primi sono i numeri più importanti di tutta la matematica. Ogni numero si può costruire moltiplicando insieme questi numeri indivisibili. Per esempio 105 è costruito moltiplicando insieme i numeri primi 3, 5 e 7. I numeri primi sono per il matematico quello che gli atomi sono per il chimico. Sono l'idrogeno, l'elio e il litio del mondo dei numeri. La chimica è riuscita nel compito di produrre un elenco di tutti gli atomi che esistono in natura: è la Tavola Periodica, che elenca 109 elementi chimici, con cui sono costruite tutte le molecole. Nonostante ci abbiano lavorato per qualche millennio, i matematici si stanno ancora affannando a cercare di comprendere la loro Tavola Periodica matematica dei numeri primi. Il motivo per cui i numeri primi sono così difficili da comprendere è che, a differenza degli atomi, essi vanno avanti all'infinito. Il primo grande teorema della storia della matematica è dovuto a Euclide, il matematico greco che dimostrò che ci sono infiniti numeri primi. E con questo se ne andò la speranza di fare una lista di 109 numeri primi, come possono fare i chimici, con cui costruire tutti gli altri numeri. La comprensione dei numeri primi va a toccare la vera essenza del mestiere del matematico. La maggior parte della gente può pensare che la ricerca matematica consista nel fare divisioni con un sacco di cifre decimali. Ma questo è altrettanto insensato quanto pensare che un musicista professionista sia solo uno che suona le sue scale più rapidamente di chiunque altro e arrivando a note più alte. I matematici dedicano la loro vita alla ricerca di schemi, di logica e ordine nel caos che ci circonda. Messi di fronte al fatto che di numeri primi continuano a spuntarne fuori all'infinito, i matematici vanno a caccia di una qualche struttura, di uno schema coerente che ci possa aiutare a comprendere come la natura abbia scelto questi numeri così sfuggenti. Il guaio è che se uno scorre la lista dei numeri primi, è veramente difficile riuscire a predire quando comparirà il prossimo. I primi sembrano venir fuori non secondo uno schema, ma come i numeri del Lotto. Se si contempla l'universo dei numeri nella sua infinita profondità, i numeri primi sembrano distribuiti a caso, proprio come le stelle nel cielo notturno. La caratteristica che contraddistingue il buon matematico è la capacità di pensare lateralmente, di sapere guardare ai problemi in modi nuovi. Nel diciannovesimo secolo il matematico tedesco Bernhard Riemann ha scoperto un nuovo modo di contemplare i numeri primi ed era convinto che questo avrebbe permesso di spiegare come i primi siano distribuiti all'interno di tutti i numeri. Come il cosmologo che ha scoperto come si siano formate le stelle che vediamo nel cielo notturno, così Riemann ha scoperto quello che, una volta dimostrato, costituirebbe l'equivalente matematico del Big Bang. Il matematico tedesco guardò l'apparente caos dei numeri primi con occhi nuovi e gli venne il sospetto che dietro a tutto questo disordine si celasse una sottile armonia - la musica dei numeri primi. Forte di questa intuizione, e della sua esperienza professionale, Riemann formulò un'audace predizione riguardo alla musica nascosta dei numeri primi: è quella che oggi chiamiamo Ipotesi di Riemann. Purtroppo nessuno è in grado di dire se Riemann avesse effettivamente trovato la chiave del rompicapo dei numeri primi. Egli morì infatti prima di aver scritto la dimostrazione e il suo domestico bruciò molti dei suoi appunti. Fin dalla morte di Riemann, dozzine di matematici si sono lanciati alla conquista della sua Ipotesi; e ad essi hanno fatto compagnia alcuni fisici (neanche tanto pochi!) ed esperti di high-tech. Al giorno d'oggi il vincitore può aspettarsi di conquistare non solo una fama imperitura, ma anche un premio di un milione di dollari, grazie alla generosità di un imprenditore di Boston. La storia dei tentativi compiuti, lungo il corso della storia dell'umanità, per dominare i numeri primi si lascia leggere come un romanzo giallo in cui manca però il nome dell'assassino. È una storia di viaggi mirabolanti, di morti scampate per un pelo e di una sete insaziabile di conoscenza. Fra i protagonisti troviamo una spia francese, un ebreo ungherese in fuga dalle persecuzioni naziste, un impiegato indiano e John Nash (interpretato da Russel Crowe nel film A Beautiful Mind), la cui ossessione per i numeri primi può aver contribuito al suo collasso nervoso. I matematici studiano i numeri primi per la loro bellezza e il loro carattere universale, quasi fossero una lingua franca del cosmo. Ma oggigiorno ci sono ragioni molto commerciali per studiare i numeri primi; essi rappresentano la chiave per i moderni codici. Ogni volta che inviate il numero della vostra carta di credito attraverso una connessione sicura su Internet, per tenerlo segreto state usando proprietà dei numeri primi. Per decifrare i codici usati su Internet da un e-business, un hacker deve trovare il modo di scoprire i numeri primi con cui è costruito il suo particolare numero di codice. È come un chimico che voglia sapere di che atomi è fatto il sale. I chimici hanno inventato una macchina (lo spettrometro) che prende il sale e vi dice che gli atomi che ne formano la molecola sono sodio e cloro. Ma i matematici finora non sono riusciti a scoprire quello che sarebbe uno straordinario spettrometro per numeri primi che, preso un numero grande, sia in grado di dirvi da quali numeri primi è formato. Comprendere i numeri primi significherebbe non solo possedere la chiave dei più grandi enigmi matematici di tutti i tempi, ma potrebbe mettere in ginocchio tutto il mondo dell'e-business. La matematica sta ancora aspettando che qualcuno riesca a fare quel passo che ci sfugge e faccia cantare i numeri primi. Sopra: Conferenza tenuta da Marcus du Sautoy a Trento il 17 marzo 2005. Traduzione di Andrea Caranti. Testo integrale dell'articolo in lingua originale inglese.