Un problema da un milione di dollari
di Domenico Luminati

Non è difficile immaginare che un elastico che sia stato steso su una palla, si possa restringere fino a diventare un punto, senza mai staccarsi dalla superficie della palla e senza mai essere tagliato. La stessa cosa non è vera se al posto della palla si prende un salvagente: si può pensare di tenderci sopra un elastico, in modo tale che, a meno di tagliarlo, non sia possibile deformarlo rimanendo sulla superficie, fino a ridurlo ad un punto. I matematici esprimono questa proprietà dicendo che la sfera è una superficie semplicemente connessa.
All’inizio del secolo scorso Henri Poincaré era già a conoscenza del fatto che l’essere semplicemente connessa, caratterizza topologicamente la sfera tra tutte le superfici, ossia che ogni superficie semplicemente connessa può essere trasformata nella sfera senza strapparla, con continuità: è omeomorfa alla sfera. Poincaré si chiese se ciò fosse vero anche per le varietà di dimensione 3 (l’analogo tridimensionale delle superfici), ovvero se ogni varietà di dimensione 3 semplicemente connessa sia omeomorfa alla sfera tridimensionale (l’insieme dei punti dello spazio a 4 dimensioni che hanno distanza unitaria dall’origine). Dal 1904, anno in cui fu formulata la congettura di Poincaré, i matematici non sono ancora riusciti a dare una risposta completa a questa domanda.
Nel 2000 il Clay Mathematics Institute di Cambridge (Massachusetts) ha stanziato 7 milioni di dollari per la soluzione di 7 dei principali problemi irrisolti della matematica, mettendo in palio un milione di dollari su ciascuno di essi. Uno di questi è la congettura di Poincaré.

http://www-math.science.unitn.it/~luminati/gallery/statiche/poincare.html