no25
    the world mathematical year 2000   
André Weil, un secolo di matematica
di René Schoof

Uno dei più grandi matematici del ‘900 è stato Andrè Weil, morto il 6 agosto 1998. Fratello della filosofa Simone Weil, era nato in Francia il 6 maggio 1906. Sia durante il periodo degli studi che dopo aver presentato la tesi, contenente la dimostrazione del cosiddetto Teorema di Mordell-Weil, il giovane Weil visitò varie università straniere e fu influenzato dalla scuola di Francesco Severi a Roma e dalla scuola algebrica tedesca di Emmy Noether. Durante la seconda guerra mondiale, dopo essere stato imprigionato per diserzione dalle autorità francesi, Weil partì per l'America. Dopo un breve soggiorno a Saõ Paolo in Brasile, divenne professore all'Università di Chicago e qualche anno dopo all'Institute of Advanced Studies a Princeton, dove passò anche gli ultimi anni della sua vita.
Weil fu un matematico di grande cultura. Parlava varie lingue e sapeva leggere il latino, il greco ed il sanscrito. Oltre che di matematica scrisse anche articoli sulla storia, sull'insegnamento e persino sull'antropologia. È sempre stimolante leggere i suoi commenti sullo sviluppo e sul contesto matematico dei suoi articoli, contenuti nei tre volumi delle sue opere complete [1]. La storia della sua vita è raccontata nella sua autobiografia [2].
René Schoof ha studiato all'Università di Amsterdam. Dal 1990 al 1994 è stato professore ordinario all'Università di Trento. Dal 1995 lavora alla 2a Università di Roma. Le sue specializzazioni sono la teoria algebrica dei numeri e la geometria algebrica aritmetica. In questo periodo è visiting professor alla Harvard University (Cambridge, USA) da dove ci ha inviato questo contributo.
Fu Weil il principale artefice del gruppo Bourbaki. Negli anni ’30 questo gruppo di giovani matematici francesi cercò di uscire dal clima poco stimolante della matematica francese di quegli anni. Inizialmente per scopi didattici, Bourbaki scrisse una serie di libri dove la matematica di base veniva presentata in modo sistematico e coerente.
Ormai questi libri sono fra i testi più citati dagli esperti. Le notazioni di Bourbaki tra cui Z per i numeri interi, R per i numeri reali e il simbolo Ø per l'insieme vuoto sono diventate universali. In ogni campo Weil cercava di saperne "meno degli esperti, ma più del matematico medio". Ha contribuito a quasi tutti i rami della matematica: la geometria differenziale, i gruppi topologici, la geometria algebrica, la teoria dei numeri, le forme quadratiche, la teoria di Hodge, i gruppi di Lie. Voglio menzionare solo due fra i temi più importanti dell'opera di Weil.
Il primo è l'ipotesi di Riemann. Questa congettura era stata formulata nel secolo scorso da Bernard Riemann, matematico tedesco e successore di C. F. Gauss e P. Lejeune Dirichlet a Göttingen. La congettura faceva parte anche della famosa lista di problemi presentata da David Hilbert al Congresso Internazionale di Matematica a Parigi nel 1900.
Negli anni '40 Weil dimostrò un analogo dell'ipotesi di Riemann per le curve algebriche su campi finiti. La dimostrazione si basava su delle idee di geometria algebrica. Per applicarle bisognava sviluppare una teoria algebrica - cioè non analitica - delle curve. Nel far questo Weil creò la teoria moderna delle varietà abeliane. Dopo il 1948 Weil capì come si potevano formulare degli analoghi dell'ipotesi di Riemann per le varietà di dimensione superiore. Per trattare queste "congetture di Weil", assieme a O. Zariski e B. van der Waerden, Weil lavorò allo sviluppo della geometria algebrica astratta. Le idee di questi ricercatori hanno trovato successivamente la loro forma definitiva per mano di Alexandre Grothendieck, che negli anni '60 ha creato il linguaggio della geometria algebrica moderna: la teoria degli schemi. Usando questa nuova teoria, P. Deligne nel 1973 ha dimostrato le congetture di Weil. La congettura orginale di Riemann, il problema più importante della matematica odierna, rimane ancora aperta.
Il secondo tema è quello che oggi si chiama il programma di Langlands, in nome del matematico Robert Langlands che negli anni ‘60 spiegò le sue idee in una serie di lettere ad Andrè Weil. Il programma lega la "geometria aritmetica" alla teoria delle "rappresentazioni automorfe" ed è una vasta generalizzazione della teoria dei corpi delle classi sviluppata in Germania negli anni ‘30. Un caso molto speciale del programma è la cosiddetta "congettura di Shimura-Taniyama-Weil" che è stata fondamentale, qualche anno fa, nella dimostrazione di Andrew Wiles dell'Ultimo Teorema di Fermat. La congettura porta il nome di Weil perché nel 1967 lui l'aveva dimostrata in alcuni casi importanti e ne aveva enfatizzata l'importanza. Wiles ha dimostrato il caso "semi-stabile" della congettura di Shimura-Taniyama-Weil. Quest'anno, estendendo i metodi di Wiles, i matematici Brian Conrad, Fred Diamond e Richard Taylor di Cambridge (Massachussetts) e Christoph Breuil di Parigi hanno finalmente dimostrato l'intera congettura di Shimura-Taniyama-Weil. Il titolo del loro articolo [3] è una chiara allusione al lavoro di Weil [4]. Nonostante questi enormi recenti progressi, il programma di Langlands è ancora lontano dall'essere completo..

Note bibliografiche:
[1] Weil, A.: Scientific Works; Collected Papers, Springer-Verlag, New York 1979
[2] Weil, A.: Souvenir d’apprentissage, Birkhäuser Verlag, Basel 1991.
[3] Breuil, C., Conrad, B., Diamond, F. and Taylor, R.: On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises (in via di pubblicazione).
[4] Weil, A.: Exercises dyadiques, Inventiones Math. 27 (1974), 1-22.

  Nelle foto: sopra: Weil a Göttingen nel 1977 in occasione del Gauss-Feier (da André Weil Œuvres Scientifiques - Collected Papers - Springer Verlag 1979); sotto: Pierre de Fermat

L'Ultimo Teorema di Fermat: più di trecento anni per dimostrarlo

Pierre de Fermat (1601-1665), un avvocato francese con la passione per la matematica, intorno al 1637 annotò la sua copia, ora perduta, delle trascrizioni di Bachet dell'Aritmetica di Diofanto, con la seguente affermazione:
"Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."
… così tradotta:
"D'altra parte il cubo in due cubi, o una quarta potenza in due quarte potenze, e in generale nessuna potenza superiore al quadrato, fino all'infinito, può essere divisa in due potenze uguali: di questo fatto ho trovato una mirabile dimostrazione. L'esiguità del margine non potrebbe contenerla".
Questa nota è conosciuta come l'Ultimo Teorema di Fermat, la cui dimostrazione ha impegnato i matematici per oltre tre secoli. Il Teorema è stato infatti dimostrato da Andrew Wiles pochi anni fa. Un importante contributo è stato dato da Andrè Weil con la cosiddetta "congettura di Shimura-Taniyama-Weil".