L’INFINITO IN MATEMATICA

Nei giorni 1 e 2 dicembre 2010, Gabriele Lolli ha tenuto due seminari presso il Dipartimento di Matematica dell’ateneo e la Fondazione Bruno Kessler, a Povo. Gabriele Lolli è un matematico i cui interessi sono ora rivolti alla storia e alla filosofia della matematica. Dal 2008 è docente della classe di Lettere e Filosofia presso la Scuola Normale Superiore di Pisa. È ben noto anche fra i non specialisti per i suoi saggi; ricordiamo ad esempio “Sotto il segno di Gödel” (2007) e “Da Euclide a Gödel” (2005).

Nel primo seminario, dal titolo “È possibile in matematica concepire infiniti ed infinitesimi?”, il relatore ha messo in evidenza i diversi destini dei concetti di infinito e di infinitesimo. La storia degli infinitesimi è fatta di cicli di apparizioni, periodi di oblio e di ricomparse, a partire dalla ‘tentazione’ dei greci antichi per gli infinitesimi attuali, contrapposta alla loro accettazione del solo infinito potenziale. Gli infinitesimi vivono una seconda vita nel Seicento, con gli indivisibili di Bonaventura Cavalieri, e hanno il loro periodo di massimo splendore nel Settecento, soprattutto nelle dimostrazioni di Euler. Nel frattempo però, con la nascita dell’analisi infinitesimale ad opera di Newton e Leibniz, emergono notevoli ambiguità sulla loro natura e sull’uso che ne viene fatto e, di conseguenza, sulla coerenza dei fondamenti stessi della nuova disciplina, fino a culminare nella feroce critica di George Berkeley, riassunta nella provocatoria domanda “May we not call them the ghosts of departed quantities?”

A cavallo fra Ottocento e Novecento, Georg Cantor condanna gli infinitesimi. Questi vengono nuovamente dimenticati, anche perché è ora disponibile una fondazione rigorosa dell’analisi matematica che prescinde da essi, dovuta a Cauchy e a Dedekind. In questo periodo si assiste, per contro, al trionfo dell’infinito attuale, o meglio, della teoria degli infiniti attuali che, a partire da Cantor, si è affermata nella matematica moderna. Dopo il 1960, gli infinitesimi hanno però una loro rivincita ad opera di Abraham Robinson il quale, utilizzando risultati di logica matematica, propone una fondazione rigorosa della teoria degli infinitesimi, nota oggi come “analisi nonstandard”.

Nel secondo seminario, dal titolo “Il significato matematico dei teoremi di incompletezza di Kurt Gödel”, il relatore ha affrontato due fra i risultati sicuramente più importanti e citati della matematica del Novecento. Si tratta anche di risultati tra i meno compresi e più largamente ‘abusati’, soprattutto in ambito non matematico. Dopo aver descritto lo stato dei fondamenti della matematica all’inizio del Novecento e il cosiddetto “Programma di Hilbert”, Lolli ha introdotto le teorie complete (le teorie non contraddittorie che sono in grado di dimostrare o di refutare ogni asserzione esprimibile nel loro linguaggio) e ha enunciato il Primo Teorema di Incompletezza nella forma: Ogni teoria assiomatizzabile in modo effettivo, non contraddittoria e sufficientemente potente da esprimere proprietà elementari di addizione, moltiplicazione e della funzione successore sui numeri naturali, è incompleta.

Dopo aver discusso il significato delle ipotesi e le conseguenze della conclusione, il relatore ha presentato il Secondo Teorema di Incompletezza, nella forma: Ogni teoria che soddisfa le ipotesi del Primo Teorema e che, inoltre, è in grado di esprimere una formulazione del principio di induzione sui numeri naturali non è in grado di dimostrare, al proprio interno, la propria non contraddittorietà.
Il relatore ha dato un’idea della dimostrazione del Primo Teorema, spiegando come la dimostrazione si basi su una profonda formalizzazione del Paradosso del mentitore (Questa frase non è vera), fatta rispetto alla nozione trivalente di dimostrabilità (Questa frase non è dimostrabile), in modo da evitare la contraddizione causata, nel Paradosso del mentitore, dall’uso della nozione bivalente di verità, dall’autoriferimento e dall’identificazione fra linguaggio e metalinguaggio.